Упр.23.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\left(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2}\right)(\cos 2x+1)=0$$;
   б) $$\left(\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{3}{4}\right)\sin\frac{x}{2}=0$$.

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\left(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac12\right)\left(\cos 2x+1\right)=0.$$

1) $$\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac12=0,$$

$$\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 2x+1=0,$$

$$\cos 2x=-1,$$

$$2x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, решения:

$$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Аналогично:

$$\left(\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac34\right)\sin\frac{x}{2}=0.$$

1) $$\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac34=0,$$

$$\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac34,$$

$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$2x+\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда получаем

$$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin\frac{x}{2}=0,$$

$$\frac{x}{2}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Это множество уже входит в $$x=\frac{\pi n}{2}$$, поэтому окончательно:

$$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$