Упр.23.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\operatorname{tg}^3 x+\operatorname{tg}^2 x-3\operatorname{tg}x=3$$;
   б) $$\operatorname{ctg}^4 2x-4\operatorname{ctg}^2 2x+3=0$$.

а) Обозначим $$t=\tg x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t^3+t^2-3t=3,$$

$$t^3+t^2-3t-3=0,$$

$$t^2(t+1)-3(t+1)=0,$$

$$\left(t+1\right)\left(t^2-3\right)=0.$$

Отсюда

$$t=-1 \quad \text{или} \quad t=\pm\sqrt{3}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\tg x=\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

$$\tg x=-\sqrt{3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Пусть $$t=\ctg 2x.$$ Тогда

$$t^4-4t^2+3=0,$$

$$\left(t^2-1\right)\left(t^2-3\right)=0.$$

Следовательно,

$$t=\pm 1 \quad \text{или} \quad t=\pm\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\ctg 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\ctg 2x=-1 \Rightarrow 2x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,$$

$$\ctg 2x=\sqrt{3} \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$\ctg 2x=-\sqrt{3} \Rightarrow 2x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Делим на $$2$$:

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb{Z}.$$