Упр.23.6(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$t=\cos\frac{x}{2}.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$2t^2+\sqrt{3}\,t=0$$

$$t(2t+\sqrt{3})=0$$

Отсюда:

$$t=0 \quad \text{или} \quad 2t+\sqrt{3}=0.$$

1) Если $$t=0,$$ то

$$\cos\frac{x}{2}=0,$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$2t+\sqrt{3}=0,$$ то

$$t=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Решим уравнение

$$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0.$$

$$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=3$$

$$\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{4}$$

$$\left|\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значит,

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

1) Если $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

$$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

$$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi+2\pi n,\; x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; x=\pi+2\pi n,\; x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$