Упр.23.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=0$$; б) $$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0$$; в) $$\sqrt{3}\tan^2 3x-3\tan 3x=0$$; г) $$4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$$.

Решим уравнения по очереди.

1. $$\sin^2 x-\frac{12-\sqrt2}{2}\sin x-3\sqrt2=0.$$

   Положим $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$y^2-\frac{12-\sqrt2}{2}y-3\sqrt2=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=\left(\frac{12-\sqrt2}{2}\right)^2+12\sqrt2=\left(\frac{12+\sqrt2}{2}\right)^2,$$

   $$y_{1,2}=\frac{\frac{12-\sqrt2}{2}\pm \frac{12+\sqrt2}{2}}{2}.$$

   Тогда

   $$y_1=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad y_2=6.$$

   Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ значение $$6$$ не подходит. Остаётся:

   $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos^2 x-\frac{8-\sqrt3}{2}\cos x-2\sqrt3=0.$$

   Положим $$y=\cos x.$$ Тогда:

   $$y^2-\frac{8-\sqrt3}{2}y-2\sqrt3=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=\left(\frac{8-\sqrt3}{2}\right)^2+8\sqrt3=\left(\frac{8+\sqrt3}{2}\right)^2.$$

   Корни:

   $$y_1=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad y_2=4.$$

   Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ значение $$4$$ не подходит. Значит,

   $$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sqrt3\,\tg^2 3x-3\tg 3x=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\tg 3x\left(\sqrt3\,\tg 3x-3\right)=0.$$

   Отсюда:

   $$\tg 3x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=\sqrt3.$$

   1) $$\tg 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\tg 3x=\sqrt3 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0.$$

   Тогда

   $$\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac14,$$

   значит,

   $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\pm \frac12.$$

   Решаем по формулам для синуса:

   $$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad -\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad -\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

   После упрощения получаем:

   $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\frac{\pi n}{3}$$ или $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\frac{7\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$