Упр.23.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\operatorname{tg} x-2\operatorname{ctg} x+1=0$$;
   б) $$\frac{\operatorname{tg} x+5}{2}=\frac{1}{\cos^2 x}$$;
   в) $$2\operatorname{ctg} x-3\operatorname{tg} x+5=0$$;
   г) $$\frac{7-\operatorname{ctg} x}{4}=\frac{1}{\sin^2 x}$$.

а) Обозначим $$y=\tg x.$$ Тогда уравнение примет вид

$$y-\frac{2}{y}+1=0,$$

где $$y\ne 0.$$ Умножим на $$y$$:

$$y^2+y-2=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

Тогда

$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,$$

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу

$$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x.$$

Тогда

$$\frac{\tg x+5}{2}=1+\tg^2 x.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Получаем

$$\frac{y+5}{2}=1+y^2,$$

$$2y^2-y-3=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$y_1=\frac{1-5}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{1+5}{4}=\frac32.$$

Следовательно,

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\tg x=\frac32 \Rightarrow x=\arctg\frac32+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$\frac{2}{y}-3y+5=0,$$

где $$y\ne 0.$$ Умножим на $$y$$:

$$2-3y^2+5y=0,$$

$$3y^2-5y-2=0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$y_1=\frac{5-7}{6}=-\frac13,\qquad y_2=\frac{5+7}{6}=2.$$

Тогда

$$\tg x=-\frac13 \Rightarrow x=-\arctg\frac13+\pi n,$$

$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) Используем формулу

$$\frac{1}{\sin^2 x}=1+\ctg^2 x.$$

Тогда

$$\frac{7-\ctg x}{4}=1+\ctg^2 x.$$

Пусть $$y=\ctg x.$$ Получаем

$$\frac{7-y}{4}=1+y^2,$$

$$7-y=4+4y^2,$$

$$4y^2+y-3=0.$$

$$D=1+48=49,$$

$$y_1=\frac{-1-7}{8}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+7}{8}=\frac34.$$

Следовательно,

$$\ctg x=-1 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,$$

$$\ctg x=\frac34 \Rightarrow x=\arcctg\frac34+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n;\quad$$ б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac32+\pi n;\quad$$ в) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\ \arctg 2+\pi n;\quad$$ г) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ \arcctg\frac34+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$