Упр.23.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\cos^2 3x — 2\cos 2x\cos 3x + 1 = 0$$.

Преобразуем левую часть:

$$\cos^2 3x-2\cos 2x\cos 3x+1=0.$$

Так как $$\cos 2x\le 1,$$ то

$$\cos^2 3x-2\cos 2x\cos 3x+1\ge \cos^2 3x-2\cos 3x+1.$$

Рассмотрим функцию

$$y=\cos^2 3x-2\cos 3x+1.$$

Обозначим $$t=\cos 3x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=t^2-2t+1=(t-1)^2.$$

Минимум этой функции на отрезке $$[-1;1]$$ достигается при $$t=1$$ и равен $$0$$. Значит, исходное выражение равно нулю только тогда, когда одновременно

$$\cos 2x=1 \quad \text{и} \quad \cos 3x=1.$$

Из первого уравнения получаем

$$2x=2\pi n,\quad x=\pi n.$$

Из второго уравнения получаем

$$3x=2\pi m,\quad x=\frac{2\pi m}{3}.$$

Совместно эти условия выполняются при

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$