Упр.23.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\frac{2\cos^2 x+5|\cos x|-3}{2\sin x+\sqrt{3}}=0$$
   б) $$\frac{2\sin^2 x+|\sin x|-1}{4\cos^2 x-3}=0$$

а) $$\frac{2\cos^2 x+5|\cos x|-3}{2\sin x+\sqrt3}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$2\cos^2 x+5|\cos x|-3=0,$$

$$2\sin x+\sqrt3\ne 0.$$

Положим $$y=|\cos x|,\quad y\ge 0.$$ Тогда

$$2y^2+5y-3=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49,$$

$$y=\frac{-5\pm 7}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-3.$$

Так как $$y\ge 0,$$ то подходит только $$|\cos x|=\frac12.$$ Следовательно,

$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Проверим знаменатель. При $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$ знаменатель обращается в нуль, значит значения

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

исключаются. Остаются:

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{2\sin^2 x+|\sin x|-1}{4\cos^2 x-3}=0.$$

Требуется, чтобы

$$2\sin^2 x+|\sin x|-1=0,$$

$$4\cos^2 x-3\ne 0.$$

Положим $$y=|\sin x|,\quad y\ge 0.$$ Тогда

$$2y^2+y-1=0.$$

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9,$$

$$y=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-1.$$

Значит, $$|\sin x|=\frac12,$$ то есть

$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$

Но из условия области определения:

$$4\cos^2 x-3\ne 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos^2 x\ne \frac34 \;\Longleftrightarrow\; \sin^2 x\ne \frac14,$$

то есть $$\sin x\ne \pm \frac12.$$

Следовательно, найденные значения не подходят.

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$ б) корней нет.