Упр.23.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\sin^2 x-6\sin x\cos x+5\cos^2 x>0$$;
б) $$\sin^2 x-6\sin x\cos x+5\cos^2 x<0$$;
в) $$\sin^2 x-3\sin x\cos x+2\cos^2 x\leq 0$$;
г) $$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x\geq 0$$.

а) $$\sin^2 x-6\sin x\cos x+5\cos^2 x>0$$

Если $$\cos x=0,$$ то $$\sin^2 x>0,$$ значит, $$x\ne \pi n$$ и, следовательно, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Если $$\cos x\ne 0,$$ разделим неравенство на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-6\tg x+5>0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-6y+5>0,$$

$$(y-1)(y-5)>0,$$

откуда $$y<1$$ или $$y>5.$$

Значит,

$$\tg x<1 \quad \text{или} \quad \tg x>5.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n.$$

Так как точки $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ уже входят в решение первого случая, получаем

$$x\in\left(\arctg 5+\pi n,\;\frac{5\pi}{4}+\pi n\right).$$

б) $$\sin^2 x-6\sin x\cos x+5\cos^2 x<0$$

Если $$\cos x=0,$$ то $$\sin^2 x<0,$$ что невозможно. Значит, $$\cos x\ne 0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-6\tg x+5<0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-6y+5<0,$$

$$(y-1)(y-5)<0,$$

откуда

$$1<y<5.$$

Следовательно,

$$1<\tg x<5,$$

то есть

$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\arctg 5+\pi n.$$

в) $$\sin^2 x-3\sin x\cos x+2\cos^2 x\le 0$$

Если $$\cos x=0,$$ то $$\sin^2 x\le 0,$$ значит, $$\sin x=0,$$ что невозможно. Следовательно, $$\cos x\ne 0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-3\tg x+2\le 0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-3y+2\le 0,$$

$$(y-1)(y-2)\le 0,$$

откуда

$$1\le y\le 2.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \arctg 2+\pi n.$$

г) $$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x\ge 0$$

Если $$\cos x=0,$$ то $$\sin^2 x\ge 0,$$ значит, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Если $$\cos x\ne 0,$$ делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-2\tg x-3\ge 0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-2y-3\ge 0,$$

$$(y+1)(y-3)\ge 0,$$

откуда

$$y\le -1 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

Следовательно,

$$\tg x\le -1 \quad \text{или} \quad \tg x\ge 3.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\arctg 3+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

С учётом случая $$\cos x=0$$ получаем

$$x\in\left(\arctg 3+\pi n,\;\frac{3\pi}{4}+\pi n\right].$$

Ответ:

а) $$\arctg 5+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n$$; б) $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\arctg 5+\pi n$$; в) $$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \arctg 2+\pi n$$; г) $$\arctg 3+\pi n<x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$