Упр.23.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\sin x-\cos x>0$$;
   б) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x\leq 0$$;
   в) $$\sin x+\cos x<0$$;
   г) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x\geq 0$$.

а) $$\sin x-\cos x>0$$

Разделим на $$\cos x$$, учитывая случаи знака $$\cos x$$:

Если $$\cos x>0$$, то

$$\tg x-1>0,\quad \tg x>1.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Если $$\cos x<0$$, то

$$\tg x-1<0,\quad \tg x<1.$$

На промежутке $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{3\pi}{2}+\pi n\right)$$ получаем

$$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n.$$

Объединяя с учетом периодичности, получаем

$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x\le 0$$

Если $$\cos x>0$$, то

$$\tg x-\sqrt{3}\le 0,\quad \tg x\le \sqrt{3}.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Если $$\cos x<0$$, то

$$\tg x-\sqrt{3}\ge 0,\quad \tg x\ge \sqrt{3}.$$

Тогда

$$\frac{2\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{3\pi}{2}+\pi n.$$

Объединяя, получаем

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin x+\cos x<0$$

Если $$\cos x>0$$, то

$$\tg x+1<0,\quad \tg x<-1.$$

Следовательно,

$$\frac{3\pi}{2}+\pi n<x<\frac{7\pi}{4}+\pi n.$$

Если $$\cos x<0$$, то

$$\tg x+1>0,\quad \tg x>-1.$$

Тогда

$$\frac{3\pi}{4}+\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+\pi n.$$

Итак,

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x\ge 0$$

Если $$\cos x>0$$, то

$$\sqrt{3}\tg x+1\ge 0,\quad \tg x\ge -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x\le \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Если $$\cos x<0$$, то

$$\sqrt{3}\tg x+1\le 0,\quad \tg x\le -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n.$$

Объединяя, получаем

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n$$; б) $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{4}+2\pi n$$; г) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.