Упр.23.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$;

б) $$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0$$;

в) $$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$;

г) $$7\ctg^2\frac{x}{2}+2\ctg\frac{x}{2}=5$$.

Положим $$y=\tg x.$$ Тогда уравнение

$$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$

примет вид

$$3y^2+2y-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3}.$$

Получаем:

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac13.$$

Тогда

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$\tg x=\frac13 \Rightarrow x=\arctg\frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Положим $$y=\ctg 2x.$$ Тогда

$$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0$$

переходит в

$$y^2-6y+5=0.$$

Находим корни:

$$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Следовательно,

$$y_1=1,\qquad y_2=5.$$

Тогда

$$\ctg 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z,$$

$$\ctg 2x=5 \Rightarrow 2x=\arcctg 5+\pi n \Rightarrow x=\frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

$$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$

переходит в

$$2y^2+3y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2\cdot 2}.$$

Получаем:

$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac12.$$

Значит,

$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Положим $$y=\ctg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$7\ctg^2 \frac{x}{2}+2\ctg \frac{x}{2}=5$$

переходит в

$$7y^2+2y-5=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-5)=4+140=144,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2\cdot 7}.$$

Получаем:

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac57.$$

Тогда

$$\ctg \frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$\ctg \frac{x}{2}=\frac57 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arcctg \frac57+\pi n \Rightarrow x=2\arcctg \frac57+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg\frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=-\arctg 2+\pi n,\; x=\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arcctg \frac57+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$