Упр.23.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$4\sin x\cos x-1>2\sin x-2\cos x$$;
   б) $$1+2\sin x>4\sin x\cos x+2\cos x$$.

а) $$4\sin x\cos x-1>2\sin x-2\cos x$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$4\sin x\cos x-2\sin x+2\cos x-1>0$$

$$2\sin x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)>0$$

$$\left(2\sin x+1\right)\left(2\cos x-1\right)>0$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

1. $$2\sin x+1>0,\quad 2\cos x-1>0$$

   $$\sin x>-\frac12,\quad \cos x>\frac12$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\sin x+1<0,\quad 2\cos x-1<0$$

   $$\sin x<-\frac12,\quad \cos x<\frac12$$

   Отсюда

   $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; \frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$1+2\sin x>4\sin x\cos x+2\cos x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$1+2\sin x-4\sin x\cos x-2\cos x>0$$

$$-(4\sin x\cos x-2\sin x+2\cos x-1)>0$$

$$\left(2\sin x+1\right)\left(2\cos x-1\right)<0$$

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

1. $$2\sin x+1>0,\quad 2\cos x-1<0$$

   $$\sin x>-\frac12,\quad \cos x<\frac12$$

   Отсюда

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\sin x+1<0,\quad 2\cos x-1>0$$

   $$\sin x<-\frac12,\quad \cos x>\frac12$$

   Таких значений нет.

Ответ: $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$