Упр.23.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{3\sin^5 x-\cos^2 x-3}=1-\sin x$$;
   б) $$\sqrt{2\cos^4 x-\sin^2 x-2}=1+\cos x$$.

а) Обозначим подкоренное выражение через правую часть и возведём обе части в квадрат:

$$\sqrt{3\sin 5x-\cos^2 x-3}=1-\sin x$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно выполняться $$1-\sin x\ge 0.$$

После возведения в квадрат получаем:

$$3\sin 5x-\cos^2 x-3=(1-\sin x)^2=1-2\sin x+\sin^2 x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3\sin 5x-\cos^2 x-4+2\sin x-\sin^2 x=0.$$

Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$3\sin 5x+2\sin x-5=0.$$

Так как $$\sin 5x\le 1$$ и $$\sin x\le 1,$$ то левая часть не превосходит нуля только при

$$\sin 5x=1,\qquad \sin x=1.$$

Из $$\sin x=1$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что эти значения удовлетворяют исходному уравнению.

б) Аналогично, возведём обе части в квадрат:

$$\sqrt{2\cos 4x-\sin^2 x-2}=1+\cos x$$

Здесь правая часть неотрицательна, значит $$1+\cos x\ge 0.$$

После возведения в квадрат:

$$2\cos 4x-\sin^2 x-2=(1+\cos x)^2=1+2\cos x+\cos^2 x.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$2\cos 4x-\sin^2 x-3-2\cos x-\cos^2 x=0.$$

С учётом $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ получаем:

$$2\cos 4x-2\cos x-4=0,$$

то есть

$$\cos 4x-\cos x-2=0.$$

Так как $$\cos 4x\le 1$$ и $$\cos x\le 1,$$ равенство возможно только при

$$\cos 4x=1,\qquad \cos x=-1.$$

Из $$\cos x=-1$$ имеем

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка подтверждает, что это решение подходит.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$