Упр.23.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. а) $$\sqrt{3}\sin x-\sqrt{2\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos^2 x}=0$$;
2. б) $$\cos x+\sqrt{\sin^2 x-4\sin x\cos x+4\cos^2 x}=0$$.

а) $$\sqrt{3}\sin x-\sqrt{2\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos^2 x}=0.$$

Перенесём корень вправо и возведём обе части в квадрат:

$$\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos^2 x}$$

$$3\sin^2 x=2\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos^2 x$$

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0.$$

При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+2\tg x-3=0.$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2+2y-3=0,$$

$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$

$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

Получаем:

$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,$$

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Проверка показывает, что оба семейства решений подходят.

Итак,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=-\arctg 3+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos x+\sqrt{\sin^2 x-4\sin x\cos x+4\cos^2 x}=0.$$

Перенесём косинус вправо:

$$\sqrt{\sin^2 x-4\sin x\cos x+4\cos^2 x}=-\cos x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$-\cos x\ge 0$$, то есть $$\cos x\le 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+4\cos^2 x=\cos^2 x,$$

$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0.$$

При $$\cos x\ne 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-4\tg x+3=0.$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2-4y+3=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 3=4,$$

$$y_1=1,\qquad y_2=3.$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n.$$

С учётом условия $$\cos x\le 0$$ остаются только решения из второй и четвёртой четвертей:

$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad x=\arctg 3+\pi(2n+1),\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; -\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\; \arctg 3+\pi(2n+1),\; n\in\mathbb Z.$$