Упр.23.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$2\sin\left(\frac{2}{3}x-\frac{\pi}{6}\right)-3\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=5$$
б) $$\sin\frac{x}{4}+2\cos\frac{x-2\pi}{3}=3$$
а) Рассмотрим уравнение
$$2\sin\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)-3\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=5.$$
Так как
$$\sin t\le 1,\qquad \cos t\ge -1,$$
то
$$2\sin\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\le 2,$$
$$-3\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\le 3,$$
следовательно,
$$2\sin\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)-3\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\le 5.$$
Равенство возможно только при одновременном выполнении условий
$$\sin\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=1,\qquad \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-1.$$
Из первого уравнения получаем
$$\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\frac{2x}{3}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pi+3\pi n.$$
Из второго уравнения получаем
$$2x+\frac{\pi}{3}=\pi+2\pi k,$$
$$2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k.$$
Проверим, могут ли эти значения совпасть. Подставим $$x=\pi+3\pi n$$ в первое условие:
$$\sin\left(\frac{2(\pi+3\pi n)}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=1,$$
а во второе:
$$\cos\left(2(\pi+3\pi n)+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{7\pi}{3}+6\pi n\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\ne -1.$$
Совместных значений нет, значит, уравнение не имеет корней.
б) Рассмотрим уравнение
$$\sin\frac{x}{4}+2\cos\frac{x-2\pi}{3}=3.$$
Так как
$$\sin\frac{x}{4}\le 1,\qquad \cos\frac{x-2\pi}{3}\le 1,$$
то
$$\sin\frac{x}{4}+2\cos\frac{x-2\pi}{3}\le 3.$$
Равенство возможно только при
$$\sin\frac{x}{4}=1,\qquad \cos\frac{x-2\pi}{3}=1.$$
Из первого уравнения:
$$\frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$x=2\pi+8\pi n.$$
Из второго уравнения:
$$\frac{x-2\pi}{3}=2\pi m,$$
$$x=2\pi+6\pi m.$$
Приравниваем:
$$2\pi+8\pi n=2\pi+6\pi m,$$
$$4n=3m.$$
Подходит, например, $$n=3k,\ m=4k$$, тогда
$$x=2\pi+24\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) корней нет; б) $$x=2\pi+24\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
