Упр.23.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$3\sin^2\frac{x}{3}+5\sin^2x=8$$;
   б) $$\cos^2 2x-2\cos^3 3x=3$$.

а) $$3\sin^2\frac{x}{3}+5\sin^2 x=8.$$

Так как $$\sin^2\frac{x}{3}\le 1,\qquad \sin^2 x\le 1,$$ то

$$3\sin^2\frac{x}{3}+5\sin^2 x\le 3+5=8.$$

Равенство возможно только при

$$\sin^2\frac{x}{3}=1,\qquad \sin^2 x=1.$$

Тогда

$$\sin\frac{x}{3}=\pm1 \;\Rightarrow\; \frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,$$

и

$$\sin x=\pm1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k.$$

Общими являются значения

$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2 2x-2\cos^3 3x=3.$$

Так как $$\cos^2 2x\le 1,\qquad \cos^3 3x\ge -1,$$ то

$$\cos^2 2x-2\cos^3 3x\le 1-2(-1)=3.$$

Равенство возможно только при

$$\cos^2 2x=1,\qquad \cos^3 3x=-1.$$

Отсюда

$$\cos 2x=\pm1 \;\Rightarrow\; 2x=\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi n}{2},$$

а также

$$\cos 3x=-1 \;\Rightarrow\; 3x=\pi+2\pi m \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi m}{3}.$$

Пересечение этих множеств даёт

$$x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$