Упр.23.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$x^2-2x\cos\pi x+1=0$$; б) $$x^2-2x\sin\frac{\pi x}{2}+1=0$$.

а) Рассмотрим уравнение $$x^2-2x\cos \pi x+1=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. По формуле корней получаем:

$$x=\frac{2\cos \pi x\pm\sqrt{4\cos^2 \pi x-4}}{2}=\cos \pi x\pm\sqrt{\cos^2 \pi x-1}.$$

Чтобы корни были действительными, нужно:

$$\cos^2 \pi x-1\ge 0.$$

Но всегда $$\cos^2 \pi x\le 1,$$ значит возможно только

$$\cos^2 \pi x=1,$$

то есть

$$\cos \pi x=\pm 1.$$

Тогда из формулы корней получаем

$$x=\cos \pi x.$$

Пусть $$x=n,$$ где $$n\in \mathbb Z.$$ Тогда

$$n=\cos \pi n.$$

Проверим целые значения:

• при $$n=0$$: $$0=\cos 0=1,$$ неверно;
• при $$n=1$$: $$1=\cos \pi=-1,$$ неверно;
• при $$n=-1$$: $$-1=\cos(-\pi)=\cos \pi=-1,$$ верно.

Следовательно, единственный корень:

$$x=-1.$$

б) Рассмотрим уравнение $$x^2-2x\sin \frac{\pi x}{2}+1=0.$$

По формуле корней:

$$x=\sin \frac{\pi x}{2}\pm\sqrt{\sin^2 \frac{\pi x}{2}-1}.$$

Для существования действительных корней нужно:

$$\sin^2 \frac{\pi x}{2}-1\ge 0.$$

Так как $$\sin^2 \frac{\pi x}{2}\le 1,$$ то возможно только

$$\sin^2 \frac{\pi x}{2}=1,$$

то есть

$$\sin \frac{\pi x}{2}=\pm 1.$$

Тогда

$$x=\sin \frac{\pi x}{2}.$$

Пусть $$x=2n+1,$$ где $$n\in \mathbb Z.$$ Тогда

$$2n+1=\sin \frac{\pi(2n+1)}{2}.$$

Проверим возможные значения:

• при $$n=-1$$: $$x=-1,$$ и $$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$ верно;
• при $$n=0$$: $$x=1,$$ и $$\sin\frac{\pi}{2}=1,$$ верно;
• при других целых $$n$$ равенство не выполняется.

Следовательно, решения уравнения:

$$x=\pm 1.$$

Ответ

а) $$x=-1$$; б) $$x=\pm 1$$.