Упр.23.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:

а) $$\frac{a\sin x-1}{\sin x+\cos x}=0$$;

б) $$\frac{a\cos x-1}{\sin x-\cos x}=0$$.

а) Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель обращался в нуль, а знаменатель не был равен нулю:

$$\frac{a\sin x-1}{\sin x+\cos x}=0 \iff \begin{cases}a\sin x-1=0,\\ \sin x+\cos x\ne 0.\end{cases}$$

Из числителя получаем:

$$a\sin x=1,\qquad \sin x=\frac1a.$$

Решения существуют только при

$$-1\le \frac1a\le 1 \iff a\le -1 \ \text{или}\ a\ge 1.$$

Проверим знаменатель:

$$\sin x+\cos x\ne 0 \iff \tan x\ne -1 \iff x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При $$a=\pm\sqrt2$$ получаем особые случаи:

$$a=-\sqrt2:\quad \sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n;$$

$$a=\sqrt2:\quad \sin x=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Если же $$a<-\sqrt2,\ -\sqrt2<a\le -1,\ 1\le a<\sqrt2,\ a>\sqrt2,$$ то

$$x=(-1)^n\arcsin\frac1a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

при этом нужно исключить значения, при которых $$\sin x+\cos x=0.$$

б) Аналогично:

$$\frac{a\cos x-1}{\sin x-\cos x}=0 \iff \begin{cases}a\cos x-1=0,\\ \sin x-\cos x\ne 0.\end{cases}$$

Из числителя:

$$a\cos x=1,\qquad \cos x=\frac1a.$$

Решения существуют только при

$$-1\le \frac1a\le 1 \iff a\le -1 \ \text{или}\ a\ge 1.$$

Проверим знаменатель:

$$\sin x-\cos x\ne 0 \iff \tan x\ne 1 \iff x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При $$a=\pm\sqrt2$$ получаем:

$$a=-\sqrt2:\quad \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n;$$

$$a=\sqrt2:\quad \cos x=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Если же $$a<-\sqrt2,\ -\sqrt2<a\le -1,\ 1\le a<\sqrt2,\ a>\sqrt2,$$ то

$$x=\pm\arccos\frac1a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

при этом нужно исключить значения, при которых $$\sin x-\cos x=0.$$

Ответ

а) Нет решений, если $$-1<a<1.$$
$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$ если $$a=-\sqrt2;$$
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$ если $$a=\sqrt2;$$
$$x=(-1)^n\arcsin\frac1a+\pi n,$$ если $$a<-\sqrt2,\ -\sqrt2<a\le -1,\ 1\le a<\sqrt2,\ a>\sqrt2.$$

б) Нет решений, если $$-1<a<1.$$
$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$ если $$a=-\sqrt2;$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$ если $$a=\sqrt2;$$
$$x=\pm\arccos\frac1a+2\pi n,$$ если $$a<-\sqrt2,\ -\sqrt2<a\le -1,\ 1\le a<\sqrt2,\ a>\sqrt2.$$