Упр.23.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\frac{2\sin^2 x-2\sin x+1}{\cos^2 x-\cos x}=0$$
   б) $$\frac{4\sin^3 2x-3\sin 2x}{\cos 3x}=0$$

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2\sin^2 x-3\sin x+1}{\cos^2 x-\cos x}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$2\sin^2 x-3\sin x+1=0,$$

$$\cos^2 x-\cos x=\cos x(\cos x-1)\ne 0.$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-3y+1=0,$$

$$D=9-8=1,$$

$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

1) Если $$\sin x=\frac12,$$ то

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

При этом $$\cos x\ne 0$$ и $$\cos x\ne 1$$, значит, все эти значения подходят.

2) Если $$\sin x=1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

но тогда $$\cos x=0$$, и знаменатель обращается в нуль. Эти значения не подходят.

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{4\sin^3 2x-3\sin 2x}{\cos 3x}=0.$$

Тогда

$$4\sin^3 2x-3\sin 2x=0,$$

$$\cos 3x\ne 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin 2x\,(4\sin^2 2x-3)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 2x=0,$$ значит $$2x=\pi n,$$ то есть $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
2. $$4\sin^2 2x-3=0,$$ значит $$\sin^2 2x=\frac34,$$ откуда $$\sin 2x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$ Тогда
   $$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Проверим условие $$\cos 3x\ne 0$$.

Для $$x=\frac{\pi n}{2}$$ получаем

$$\cos 3x=\cos\frac{3\pi n}{2}\ne 0$$

только при чётных $$n$$, то есть $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Для $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n$$ имеем

$$\cos 3x=\cos\left(\pm\frac{\pi}{2}+3\pi n\right)=0,$$

поэтому эти значения не подходят.

Итак,

$$x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$