Упр.23.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\sin^6 x+\sin^4 x\cos^2 x=\sin^3 x\cos^3 x+\sin x\cos^5 x$$;

б) $$\sin^2 x\cos^2 x-10\sin x\cos^3 x+21\cos^4 x=0$$.

Положим $$a=\sin x,\quad b=\cos x.$$ Тогда первое уравнение можно переписать так:

$$a^6+a^4b^2=a^3b^3+ab^5.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$a^6-a^3b^3+a^4b^2-ab^5=0,$$

$$a^3(a^3-b^3)+ab^2(a^3-b^3)=0,$$

$$\bigl(a^3+ab^2\bigr)\bigl(a^3-b^3\bigr)=0.$$

Отсюда:

$$a^3+ab^2=0 \quad \text{или} \quad a^3-b^3=0.$$

1) $$\sin^3 x+\sin x\cos^2 x=0,$$

$$\sin x(\sin^2 x+\cos^2 x)=0,$$

$$\sin x=0,$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin^3 x-\cos^3 x=0.$$

Разделим на $$\cos^3 x$$:

$$\tg^3 x-1=0,$$

$$\tg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, для пункта а) получаем:

$$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь решим уравнение б):

$$\sin^2 x\cos^2 x-10\sin x\cos^3 x+21\cos^4 x=0.$$

Вынесем $$\cos^2 x$$:

$$\cos^2 x\bigl(\sin^2 x-10\sin x\cos x+21\cos^2 x\bigr)=0.$$

Отсюда либо

$$\cos x=0,$$

либо

$$\sin^2 x-10\sin x\cos x+21\cos^2 x=0.$$

Если $$\cos x\neq 0,$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-10\tg x+21=0.$$

Положим $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2-10y+21=0,$$

$$D=100-84=16,$$

$$y_1=\frac{10-4}{2}=3,\qquad y_2=\frac{10+4}{2}=7.$$

Значит,

$$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=7,$$

откуда

$$x=\arctg 3+\pi n,\quad x=\arctg 7+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Кроме того, из $$\cos x=0$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$ б) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \arctg 7+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$