Упр.23.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:

а) $$\frac{\sin x+\cos x}{\cos 2x}=0$$

б) $$\operatorname{ctg} x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=2$$

в) $$\frac{\cos^2 x+\cos x}{\sin x}=0$$

г) $$\frac{\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^2 x}=\cos x$$

Подробный ответ

а) $$\frac{\sin x+\cos x}{\cos 2x}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\sin x+\cos x=0,$$

$$\tg x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим область допустимых значений:

$$\cos 2x\ne 0 \;\Rightarrow\; x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Полученные значения этому условию не удовлетворяют, значит, корней нет.

б) $$\ctg x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}=2,$$

$$\frac{\cos x(1+\cos x)+\sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)}=2,$$

$$\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)}=2,$$

$$\frac{\cos x+1}{\sin x(1+\cos x)}=2,$$

$$\frac{1}{\sin x}=2,$$

$$\sin x=\frac12.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

ОДЗ: $$\sin x\ne 0,\quad 1+\cos x\ne 0.$$ Полученные значения ей удовлетворяют.

в) $$\frac{\cos^2 x+\cos x}{\sin x}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\cos^2 x+\cos x=0,$$

$$\cos x(\cos x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$

Но при $$\cos x=-1$$ имеем $$\sin x=0,$$ что запрещено по ОДЗ. Значит, остаётся

$$\cos x=0,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\frac{\tg x}{1+\tg^2 x}=\cos x.$$

Используем формулу $$1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$:

$$\frac{\tg x}{1+\tg^2 x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos^2 x=\sin x\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sin x\cos x=\cos x,$$

$$\cos x(\sin x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Но при $$\cos x=0$$ левая часть исходного выражения не определена. При $$\sin x=1$$ также $$\cos x=0,$$ поэтому это значение не подходит. Следовательно, корней нет.