Упр.23.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$|\cos x|=2\cos x-\sqrt{3}\sin x$$;
   б) $$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2|\sin x|$$.

Рассмотрим оба случая для каждого уравнения.

а)

$$|\cos x|=2\cos x-\sqrt{3}\sin x$$

1) Если $$\cos x>0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$, и получаем:

$$\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x$$

$$\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$$

$$\sqrt{3}\tan x=1$$

$$\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

Из условия $$\cos x>0$$ подходит:

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

2) Если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$, и тогда:

$$-\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x$$

$$3\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$$

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0$$

$$\tan x=\sqrt{3}$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

С учетом условия $$\cos x<0$$ получаем:

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

б)

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2|\sin x|$$

1) Если $$\sin x>0$$, то $$|\sin x|=\sin x$$, и тогда:

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2\sin x$$

$$-\sin x=\sqrt{3}\cos x$$

$$\tan x=-\sqrt{3}$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

С учетом условия $$\sin x>0$$:

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

2) Если $$\sin x<0$$, то $$|\sin x|=-\sin x$$, и получаем:

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x-2\sin x$$

$$3\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$

$$\sqrt{3}\tan x=1$$

$$\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

С учетом условия $$\sin x<0$$:

$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$;

б) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$.