Упр.23.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$|\operatorname{ctg} x|=\operatorname{ctg} x+\frac{1}{\sin x}$$
   б) $$\operatorname{tg} x+\frac{1}{9\operatorname{ctg} x}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}-1}$$

а) Рассмотрим два случая.

1) Если $$\ctg x \ge 0,$$ то

$$|\ctg x|=\ctg x,$$

и уравнение принимает вид

$$\ctg x=\ctg x+\frac{1}{\sin x}.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sin x}=0,$$

что невозможно. Значит, в этом случае решений нет.

2) Если $$\ctg x<0,$$ то

$$|\ctg x|=-\ctg x,$$

и получаем

$$-\ctg x=\ctg x+\frac{1}{\sin x}.$$

Отсюда

$$\frac{1}{\sin x}=-2\ctg x=-2\frac{\cos x}{\sin x}.$$

Так как $$\sin x\ne 0,$$ умножим на $$\sin x$$:

$$1=-2\cos x,$$

то есть

$$\cos x=-\frac12.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим условие $$\ctg x<0.$$

При $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ имеем $$\ctg x<0,$$ а при $$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ также получаем те же значения по модулю периода. Поэтому решения можно записать как

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем тождество

$$\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}-1}=\sqrt{\tan^2 x}=|\tan x|.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\tan x+\frac{1}{9}\cot x=|\tan x|-1.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$\tan x>0,$$ то $$|\tan x|=\tan x,$$ и

$$\tan x+\frac{1}{9\tan x}=\tan x-1.$$

Получаем

$$\frac{1}{9\tan x}=-1,$$

откуда

$$\tan x=-\frac19,$$

что противоречит условию $$\tan x>0.$$ Решений нет.

2) Если $$\tan x<0,$$ то $$|\tan x|=-\tan x,$$ и

$$\tan x+\frac{1}{9\tan x}=-\tan x-1.$$

Тогда

$$2\tan x+\frac{1}{9\tan x}+1=0.$$

Положим $$y=\tan x.$$ Получаем квадратное уравнение

$$2y+\frac{1}{9y}+1=0,$$

$$18y^2+9y+1=0.$$

Дискриминант:

$$D=9^2-4\cdot 18\cdot 1=81-72=9.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 3}{36}.$$

Следовательно,

$$y_1=-\frac13,\qquad y_2=-\frac16.$$

Значит,

$$\tan x=-\frac13 \quad \text{или} \quad \tan x=-\frac16.$$

Отсюда

$$x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=-\arctg\frac16+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctg\frac16+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$