Упр.23.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}\sin x+\cos y=-\frac{1}{2},\\ \sin x\cos y=-\frac{1}{2};\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\sin\,—-\cos 2y=1,\\ 2\sin^2\frac{x}{2}-3\cos 2y=2.\end{cases}$$

Обозначим:

а) $$a=\sin x,\quad b=\cos y.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} a+b=-\dfrac12,\\ ab=-\dfrac12. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$a=-\dfrac12-b.$$ Подставим во второе:

$$b\left(-\dfrac12-b\right)=-\dfrac12$$

$$-b^2-\dfrac12b+\dfrac12=0$$

$$2b^2+b-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+8=9,$$

$$b_{1,2}=\dfrac{-1\pm 3}{4}.$$

Отсюда

$$b_1=\dfrac12,\quad b_2=-1.$$

Тогда:

1) если $$\cos y=\dfrac12,$$ то $$\sin x=-1.$$ Получаем

$$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z;$$

2) если $$\cos y=-1,$$ то $$\sin x=\dfrac12.$$ Тогда

$$x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad y=\pi+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

б) Пусть

$$a=\sin\dfrac{x}{2},\quad b=\cos 2y.$$

Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} a-b=1,\\ 2a^2-3b=2. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=a-1.$$ Подставим во второе:

$$2a^2-3(a-1)=2$$

$$2a^2-3a+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=9-8=1,$$

$$a_{1,2}=\dfrac{3\pm 1}{4}.$$

Следовательно,

$$a_1=\dfrac12,\quad a_2=1.$$

Тогда:

1) если $$\sin\dfrac{x}{2}=\dfrac12,$$ то

$$x=(-1)^n\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

а из $$b=a-1=-\dfrac12$$ получаем

$$\cos 2y=-\dfrac12,$$

$$2y=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad y=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) если $$\sin\dfrac{x}{2}=1,$$ то

$$x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

а из $$b=0$$ получаем

$$\cos 2y=0,$$

$$2y=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad y=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pi+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left((-1)^n\dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k\right),\ \left(\pi+4\pi n;\ \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$