Упр.23.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\begin{cases}2\sin x-5\cos y=7,\\5\sin x+\cos y=4.\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}5\sin 2x+3\cos y=1,\\8\sin 2x-6\cos 3y=7.\end{cases}$$

а) Обозначим $$a=\sin x,$$ $$b=\cos y.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 2a-5b=7,\\ 5a+b=4. \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $$b$$:

$$b=4-5a.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a-5(4-5a)=7,$$

$$2a-20+25a=7,$$

$$27a=27,$$

$$a=1.$$

Тогда

$$b=4-5\cdot 1=-1.$$

Следовательно,

$$\sin x=1,\qquad \cos y=-1.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y=\pi+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

б) Обозначим $$a=\sin 2x,$$ $$b=\cos 3y.$$ Тогда

$$\begin{cases} 5a+3b=1,\\ 8a-6b=7. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$10a+6b=2.$$

Сложим его со вторым уравнением:

$$18a=9,$$

$$a=\frac12.$$

Подставим в первое уравнение:

$$5\cdot \frac12+3b=1,$$

$$\frac52+3b=1,$$

$$3b=-\frac32,$$

$$b=-\frac12.$$

Значит,

$$\sin 2x=\frac12,\qquad \cos 3y=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

А для $$\cos 3y=-\frac12$$ получаем

$$3y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z,$$

следовательно,

$$y=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pi+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ \pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$