Упр.23.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\cos^6 x+\sin^6 x=\frac{7}{16}$$; б) $$\cos^{-4}\frac{x}{2}\left(2\sin^4\frac{x}{2}-1\right)=2$$

а) $$\cos^6 x+\sin^6 x=\frac{7}{16}.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$\cos^6 x+\sin^6 x=(\cos^2 x)^3+(\sin^2 x)^3=(\cos^2 x+\sin^2 x)\bigl(\cos^4 x-\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x\bigr).$$

Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$ получаем

$$\cos^4 x-\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x=\frac{7}{16}.$$

Пусть $$t=\cos^2 x.$$ Тогда $$\sin^2 x=1-t,$$ и

$$t^2-t(1-t)+(1-t)^2=\frac{7}{16}.$$

После упрощения:

$$3t^2-3t+\frac{9}{16}=0.$$

Умножим на $$16$$:

$$16t^2-16t+3=0.$$

$$D=16^2-4\cdot 16\cdot 3=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{16\pm 8}{32}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac14,\qquad t_2=\frac34.$$

1) Если $$\cos^2 x=\frac14,$$ то $$\sin^2 x=\frac34,$$ значит

$$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2},$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\cos^2 x=\frac34,$$ то $$\sin^2 x=\frac14,$$ значит

$$\sin x=\pm \frac12,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Объединяя, получаем

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^{-4}\frac{x}{2}\left(2\sin^4\frac{x}{2}-1\right)=2.$$

Преобразуем левую часть:

$$\cos^{-4}\frac{x}{2}=\frac{1}{\cos^4\frac{x}{2}},$$

поэтому

$$\frac{2\sin^4\frac{x}{2}-1}{\cos^4\frac{x}{2}}=2.$$

Пусть $$t=\tan^2\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{t}{1+t},\qquad \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+t}.$$

Следовательно,

$$\frac{2\sin^4\frac{x}{2}-1}{\cos^4\frac{x}{2}}=2t^2-2(1+t)^2=2.$$

После упрощения получаем квадратное уравнение:

$$t^2-2t-3=0.$$

$$t_1=-1,\qquad t_2=3.$$

Так как $$t=\tan^2\frac{x}{2}\ge 0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Тогда

$$\tan^2\frac{x}{2}=3,$$

$$\tan\frac{x}{2}=\pm \sqrt3.$$

Отсюда

$$\frac{x}{2}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$