Упр.23.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$4\sin^2\frac{x}{2}-3=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$
   б) $$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}=3+\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$$

а) $$4\sin^2\frac{x}{2}-3=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$

Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся формулой $$\cos^2\frac{x}{2}=1-\sin^2\frac{x}{2}$$:

$$4\sin^2\frac{x}{2}-3\sin^2\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$

$$\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=0$$

Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$\tg^2\frac{x}{2}-2\tg\frac{x}{2}-3=0$$

Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда

$$y^2-2y-3=0$$

$$\left(y-3\right)\left(y+1\right)=0$$

Отсюда $$y=3$$ или $$y=-1$$.

1) $$\tg\frac{x}{2}=3$$, значит

$$\frac{x}{2}=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=2\arctg 3+2\pi n$$

2) $$\tg\frac{x}{2}=-1$$, значит

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

б) $$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}=3+\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}-3-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$

Так как $$3=3\sin^2\frac{x}{3}+3\cos^2\frac{x}{3}$$, получаем

$$\cos^2\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$

Вынесем $$\cos\frac{x}{3}$$ за скобку:

$$\cos\frac{x}{3}\left(\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\right)=0$$

Отсюда:

1) $$\cos\frac{x}{3}=0$$, тогда

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n$$

2) $$\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}=0$$, значит

$$\tg\frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg 3+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;

б) $$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\; x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.