Упр.23.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$3\sin^2 2x-2=\sin 2x\cos 2x$$;

б) $$2\sin^2 4x-4=3\sin 4x\cos 4x-4\cos^2 4x$$.

а) $$3\sin^2 2x-2=\sin 2x\cos 2x$$

Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\tg 2x$$:

$$3\sin^2 2x-\sin 2x\cos 2x-2\cos^2 2x=0$$

$$\cos^2 2x\left(3\tg^2 2x-\tg 2x-2\right)=0$$

Так как $$\cos 2x=0$$ не даёт решений исходного уравнения, получаем:

$$3\tg^2 2x-\tg 2x-2=0$$

Пусть $$y=\tg 2x$$. Тогда

$$3y^2-y-2=0$$

$$D=1+24=25$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6}$$

$$y_1=-\frac{2}{3},\qquad y_2=1$$

Тогда

$$\tg 2x=-\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad 2x=\arctg\!\left(-\frac{2}{3}\right)+\pi n$$

$$x=\frac12\arctg\!\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{\pi n}{2}$$

и

$$\tg 2x=1 \quad \Rightarrow \quad 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

б) $$2\sin^2 4x-4=3\sin 4x\cos 4x-4\cos^2 4x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2\sin^2 4x-3\sin 4x\cos 4x+4\cos^2 4x-4=0$$

Так как $$4\cos^2 4x-4=-4\sin^2 4x$$, получаем:

$$-2\sin^2 4x-3\sin 4x\cos 4x=0$$

$$\sin 4x\left(2\sin 4x+3\cos 4x\right)=0$$

Отсюда:

1) $$\sin 4x=0$$, тогда

$$4x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{4}$$

2) $$2\sin 4x+3\cos 4x=0$$, тогда

$$\tg 4x=-\frac{3}{2}$$

$$4x=\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\pi n$$

$$x=\frac14\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{\pi n}{4}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac12\arctg\!\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{4},\quad x=\frac14\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$