Упр.23 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а)

$$(a-b)\left(\frac{a+b}{\sqrt{a-b}}+a-b\right)\left(\frac{a+b}{\sqrt{a-b}}-1\right)$$
$$=(a-b)\left(\frac{a+b}{\sqrt{a-b}}+a-b\right)\cdot \frac{a+b-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}}$$
$$=(a-b)\left(\frac{(a+b)^2}{a-b}-(a+b)\right)-\left((a-b)^2\right)$$
$$=(a-b)^2\left(\frac{a+b}{\sqrt{a-b}}\right)^2-(a^2-2ab+b^2)$$
$$=\frac{(a-b)^2(a+b)^2}{a-b}-a^2+2ab-b^2$$
$$=(a-b)(a+b)^2-a^2+2ab-b^2$$
$$=a^2-b^2-a^2+2ab-b^2=2b(a-b).$$

б)

$$\left(\sqrt{ab}\cdot \frac{ab}{a+\sqrt{ab}}\right):\frac{\sqrt{ab}\cdot b}{a-b}$$
$$=\left(\sqrt{ab}\cdot \frac{ab}{a+\sqrt{ab}}\right)\cdot \frac{a-b}{\sqrt{ab}\,b}$$
$$=\frac{ab(a-b)}{(a+\sqrt{ab})b} =\frac{a(a-b)}{a+\sqrt{ab}}$$
$$=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a+\sqrt{ab}} =a.$$

в)

$$\left(\frac{1}{2m}-\frac{1}{\sqrt{m}+1}\right)^2\left(\sqrt{m}-\frac{1}{\sqrt{m}+1}\right)^2$$
$$=\left(\frac{\sqrt{m}-1}{2m}\right)^2\left(\frac{m-1}{\sqrt{m}+1}\right)^2$$
$$=\frac{(m-1)^2}{4m^2}\cdot \frac{(m-1)^2}{(\sqrt{m}+1)^2} =\frac{(m-1)^4}{4m^2(\sqrt{m}+1)^2}.$$

г)

$$\frac{\sqrt{a+\sqrt{ab}}\,\sqrt{a-\sqrt{ab}}+\sqrt{a-\sqrt{ab}}\,\sqrt{a+\sqrt{ab}}}{\sqrt{a+\sqrt{ab}}-\sqrt{a-\sqrt{ab}}}$$
$$=\frac{2\sqrt{(a+\sqrt{ab})(a-\sqrt{ab})}}{\sqrt{a+\sqrt{ab}}-\sqrt{a-\sqrt{ab}}} =\frac{2\sqrt{a^2-ab}}{\sqrt{a+\sqrt{ab}}-\sqrt{a-\sqrt{ab}}}$$
$$=\frac{2\sqrt{a(a-b)}}{\sqrt{a+\sqrt{ab}}-\sqrt{a-\sqrt{ab}}}.$$

Ответ: а) $$2b(a-b)$$; б) $$a$$; в) $$\dfrac{(m-1)^4}{4m^2(\sqrt{m}+1)^2}$$; г) $$\dfrac{2\sqrt{a(a-b)}}{\sqrt{a+\sqrt{ab}}-\sqrt{a-\sqrt{ab}}}$$.