Упр.23.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5$$;
   б) $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=4$$.

а) $$5\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x+6\cos^2 x=5$$

Перенесём $$5$$ в левую часть и заменим $$5$$ на $$5\sin^2 x+5\cos^2 x$$:

$$5\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x+6\cos^2 x-5\sin^2 x-5\cos^2 x=0$$

$$\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

$$\cos x(\sqrt3\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt3\sin x+\cos x=0.$$

1) $$\cos x=0$$, тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt3\sin x+\cos x=0$$. Делим на $$\cos x$$, если $$\cos x\neq 0$$:

$$\sqrt3\tan x+1=0,$$

$$\tan x=-\frac1{\sqrt3},$$

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=4$$

Перенесём $$4$$ в левую часть и заменим $$4$$ на $$4\sin^2 x+4\cos^2 x$$:

$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x-4\sin^2 x-4\cos^2 x=0$$

$$-2\sin^2 x-3\sin x\cos x=0$$

$$\sin x(2\sin x+3\cos x)=0.$$

Отсюда:

1) $$\sin x=0,$$ тогда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\sin x+3\cos x=0.$$ Делим на $$\cos x$$, если $$\cos x\neq 0$$:

$$2\tan x+3=0,$$

$$\tan x=-\frac32,$$

$$x=-\arctan\frac32+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=-\arctan\frac32+\pi n,\ \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\arctan\frac32+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$