Упр.23.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\sin^2\frac{x}{2}=3\cos^2\frac{x}{2}$$; б) $$\sin^2 4x=\cos^2 4x$$.

а) $$\sin^2 \frac{x}{2}=3\cos^2 \frac{x}{2}$$

Так как $$\cos \frac{x}{2}\neq 0$$, разделим обе части на $$\cos^2 \frac{x}{2}$$:

$$\tg^2 \frac{x}{2}=3.$$

Тогда

$$\tg \frac{x}{2}=\pm \sqrt{3}.$$

Отсюда

$$\frac{x}{2}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

значит,

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\sin^2 4x=\cos^2 4x$$

Так как $$\cos 4x\neq 0$$, разделим обе части на $$\cos^2 4x$$:

$$\tg^2 4x=1.$$

Тогда

$$\tg 4x=\pm 1.$$

Следовательно,

$$4x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

и потому

$$x=\pm \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ б) $$x=\pm \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in \mathbb{Z}.$$