Упр.23.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sin 2x=\cos 2x$$;
   б) $$\sqrt{3}\sin 3x=\cos 3x$$;
   в) $$\sin\frac{x}{2}=\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}$$;
   г) $$\sqrt{2}\sin 17x=\sqrt{6}\cos 17x$$.

а) $$\sin 2x=\cos 2x$$

Разделим обе части на $$\cos 2x$$:

$$\tg 2x=1.$$

Тогда

$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$\sqrt{3}\sin 3x=\cos 3x$$

Разделим обе части на $$\cos 3x$$:

$$\sqrt{3}\tg 3x=1,$$

откуда

$$\tg 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$3x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

и значит

$$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}$$

Разделим обе части на $$\cos \frac{x}{2}$$:

$$\tg \frac{x}{2}=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

следовательно,

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

г) $$\sqrt{2}\sin 17x=\sqrt{6}\cos 17x$$

Разделим обе части на $$\cos 17x$$:

$$\sqrt{2}\tg 17x=\sqrt{6},$$

откуда

$$\tg 17x=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$17x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

и значит

$$x=\frac{\pi}{51}+\frac{\pi n}{17},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$; б) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{51}+\frac{\pi n}{17},\quad n\in\mathbb{Z}.$$