Упр.23.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$;
б) $$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$;
в) $$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$;
г) $$3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$.
а) $$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0.$$
Так как $$\cos x\neq 0$$, разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+2\tg x-3=0.$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2+2t-3=0,$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-3,\qquad t_2=1.$$
Значит,
$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,$$
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x-4\tg x+3=0.$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2-4t+3=0,$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=4,$$
$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$
Следовательно,
$$t_1=1,\qquad t_2=3.$$
Тогда
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2+t-2=0,$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-2,\qquad t_2=1.$$
Значит,
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,$$
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
г) $$3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$3\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$3t^2+t-2=0,$$
$$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{6}.$$
Следовательно,
$$t_1=-1,\qquad t_2=\frac{2}{3}.$$
Тогда
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=\frac{2}{3} \Rightarrow x=\arctg\frac{2}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac{2}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
