Упр.23.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$;
- $$\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$;
- $$\sin^2 x=3\sin x\cos x$$;
- $$\sqrt{3}\cos^2 x=\sin x\cos x$$.
а) $$\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$
Вынесем $$\sin x$$ за скобки:
$$\sin x(\sin x+\cos x)=0.$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0.$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
Вынесем $$\cos x$$ за скобки:
$$\cos x(\sqrt3\sin x+\cos x)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt3\sin x+\cos x=0.$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sqrt3\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-\frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$\sin^2 x=3\sin x\cos x$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем $$\sin x$$:
$$\sin^2 x-3\sin x\cos x=0,$$
$$\sin x(\sin x-3\cos x)=0.$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-3\cos x=0.$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin x-3\cos x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
г) $$\sqrt3\cos^2 x=\sin x\cos x$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем $$\cos x$$:
$$\sqrt3\cos^2 x-\sin x\cos x=0,$$
$$\cos x(\sqrt3\cos x-\sin x)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt3\cos x-\sin x=0.$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sqrt3\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
