Упр.23.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$$;
   б) $$\sin x+\cos x=0$$;
   в) $$\sin x-3\cos x=0$$;
   г) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$.

Решим каждое уравнение, разделив обе части на ненулевую тригонометрическую функцию.

1. $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$\tg x+\sqrt{3}=0$$

   $$\tg x=-\sqrt{3}$$

   Тогда

   $$x=-\arctg \sqrt{3}+\pi n=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\sin x+\cos x=0$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$\tg x+1=0$$

   $$\tg x=-1$$

   Следовательно,

   $$x=-\arctg 1+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\sin x-3\cos x=0$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$\tg x-3=0$$

   $$\tg x=3$$

   Значит,

   $$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$

   Делим на $$\sin x$$:

   $$\sqrt{3}+\ctg x=0$$

   $$\ctg x=-\sqrt{3}$$

   Отсюда

   $$x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$; б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$; в) $$x=\arctg 3+\pi n$$; г) $$x=\frac{5\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.