Упр.23.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\operatorname{tg}x\sin 2x=0$$;
   б) $$(1+\cos x)\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0$$;
   в) $$\cos x\operatorname{tg}3x=0$$;
   г) $$(1+\cos x)\operatorname{tg}x/2=0$$.

a) $$\tg x\cdot \sin 2x=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

1) $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$

Но при $$x=\frac{\pi n}{2}$$ значения с нечётным $$n$$ не подходят, так как тогда $$\tg x$$ не определён. Поэтому остаются только

$$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

б) $$\left(1+\cos x\right)\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0$$

Рассмотрим каждый множитель:

1) $$1+\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$\frac{1}{\sin x}-1=0 \Rightarrow \frac{1}{\sin x}=1 \Rightarrow \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Оба найденных семейства решений допустимы, так как при них $$\sin x\neq 0.$$

Следовательно,

$$x=\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

в) $$\cos x\cdot \tg 3x=0$$

Тогда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$\tg 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb Z.$$

Проверим допустимость: при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ имеем $$\cos 3x\neq 0$$, значит выражение определено. При $$x=\frac{\pi n}{3}$$ также $$\cos 3x=\cos \pi n\neq 0.$$

Но множество $$x=\frac{\pi n}{3}$$ уже содержит все решения вида $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ при соответствующих значениях $$n$$? Нет, поэтому объединяем оба семейства. Однако из условия произведения достаточно решений, при которых хотя бы один множитель равен нулю и выражение определено. Итоговое множество решений:

$$x=\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb Z.$$

г) $$\left(1+\cos x\right)\tg \frac{x}{2}=0$$

Имеем:

1) $$1+\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$\tg \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

При $$x=\pi+2\pi n$$ тангенс $$\tg \frac{x}{2}$$ определён, а при $$x=2\pi n$$ выражение тоже имеет смысл. Поэтому

$$x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z$$; б) $$x=\pi+2\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb Z$$; г) $$x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z$$.