Упр.23.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$3\sin^2 x-5\sin x-2=0$$;
б) $$3\sin^2 2x+10\sin 2x+3=0$$;
в) $$4\sin^2 x+11\sin x-3=0$$;
г) $$2\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}+1=0$$.
а) Пусть $$y=\sin x,$$ тогда получаем квадратное уравнение:
$$3y^2-5y-2=0.$$
Найдём корни:
$$D=5^2+4\cdot 3\cdot 2=25+24=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$
Тогда
$$y_1=-\frac13,\qquad y_2=2.$$
Значение $$y_2=2$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$
Следовательно,
$$\sin x=-\frac13,$$
откуда
$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Пусть $$y=\sin 2x,$$ тогда:
$$3y^2+10y+3=0.$$
Найдём корни:
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{-10\pm 8}{6}.$$
Получаем
$$y_1=-3,\qquad y_2=-\frac13.$$
Значение $$y_1=-3$$ не подходит, поэтому
$$\sin 2x=-\frac13.$$
Тогда
$$2x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
и значит
$$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
в) Пусть $$y=\sin x,$$ тогда:
$$4y^2+11y-3=0.$$
Найдём корни:
$$D=11^2+4\cdot 4\cdot 3=121+48=169,$$
$$y_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{8}.$$
Получаем
$$y_1=-3,\qquad y_2=\frac14.$$
Значение $$y_1=-3$$ не подходит, поэтому
$$\sin x=\frac14.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Пусть $$y=\sin\frac x2,$$ тогда:
$$2y^2-3y+1=0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}.$$
Получаем
$$y_1=\frac12,\qquad y_2=1.$$
1) Если $$\sin\frac x2=\frac12,$$ то
$$\frac x2=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\sin\frac x2=1,$$ то
$$\frac x2=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
