Упр.22.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   б) $$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   в) $$\sin x=-1$$;
   г) $$\sin x=-\frac{1}{2}$$.

Рассмотрим уравнения по пунктам.

а)

$$\left(2\cos x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$2\cos x+1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\sqrt{3}=0.$$

1) $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\sin x-\sqrt{3}=0 \Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$2\cos x-3\sin x\cdot \cos x=0$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

$$\cos x\left(2-3\sin x\right)=0.$$

Отсюда:

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2-3\sin x=0 \Rightarrow \sin x=\frac23.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$4\sin^2 x-3\sin x=0$$

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x\left(4\sin x-3\right)=0.$$

Отсюда:

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$4\sin x-3=0 \Rightarrow \sin x=\frac34.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$2\sin^2 x-1=0$$

$$2\sin^2 x=1 \Rightarrow \sin^2 x=\frac12 \Rightarrow \sin x=\pm \frac{1}{\sqrt2}=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ или $$x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pi n$$ или $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$