Упр.22.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение: а) $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$\sin x=1$$; г) $$\sin x=\frac{1}{2}$$.

Используем общую формулу решений уравнения $$\sin x=a$$:

$$x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

1. $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},$$ получаем

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},$$ получаем

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin x=1$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\arcsin 1+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arcsin 1=\frac{\pi}{2},$$ имеем

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin x=\frac12$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},$$ получаем

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.