Упр.22.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: а) $$\cos x=\frac{1}{3}$$, $$x\in[1;6]$$; б) $$\cos x=-0{,}4$$, $$x\in[3;11]$$?

Для уравнения $$\cos x = a$$ на промежутке нужно найти все значения $$x$$, при которых график косинуса принимает заданное значение.

1. $$\cos x=\frac13,\quad x\in[1;6]$$

   Общее решение уравнения:

   $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arccos\frac13\approx 1{,}23,$$ то на отрезке $$[1;6]$$ подходят два значения:

   $$x_1=\arccos\frac13,\qquad x_2=2\pi-\arccos\frac13.$$

   Следовательно, уравнение имеет $$2$$ корня.

2. $$\cos x=-0{,}4,\quad x\in[3;11]$$

   Общее решение:

   $$x=\pm \arccos(-0{,}4)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Поскольку $$\arccos(-0{,}4)\approx 1{,}98,$$ то на отрезке $$[3;11]$$ получаем четыре корня:

   $$x_1=2\pi-\arccos(-0{,}4),\quad x_2=\arccos(-0{,}4)+2\pi,$$

   $$x_3=4\pi-\arccos(-0{,}4),\quad x_4=\arccos(-0{,}4)+4\pi.$$

   Значит, уравнение имеет $$4$$ корня.

Ответ: а) $$2$$; б) $$4$$.