Упр.22.69 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сколько корней имеет данное уравнение на данном промежутке:

1. а) $$2+\operatorname{ctg}^2 x=(\sin x)^{-2}+\cos 4x,\quad x\in\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$
   б) $$\operatorname{tg}^2 x=(\cos x)^{-2}+\sin 3x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right]$$

Рассмотрим неравенство $$\left(2a-3\right)\sin x+1\ge 0.$$

Перенесём единицу:

$$\left(2a-3\right)\sin x\ge -1.$$

Чтобы это неравенство было верно при любом $$x,$$ нужно, чтобы оно выполнялось для всех значений $$\sin x\in[-1;1].$$

1) Если $$2a-3<0,$$ то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$\sin x\le -\frac{1}{2a-3}.$$

Чтобы это было верно при любом $$x,$$ достаточно, чтобы правая часть была не меньше $$1$$:

$$-\frac{1}{2a-3}\ge 1.$$

Так как $$2a-3<0,$$ получаем

$$1+\frac{1}{2a-3}\le 0,$$

$$\frac{2a-2}{2a-3}\le 0,$$

$$\left(2a-2\right)\left(2a-3\right)\le 0,$$

откуда

$$1\le a<\frac{3}{2}.$$

2) Если $$2a-3>0,$$ то

$$\sin x\ge -\frac{1}{2a-3}.$$

Чтобы это было верно при любом $$x,$$ нужно, чтобы правая часть была не больше $$-1$$:

$$-\frac{1}{2a-3}\le -1.$$

Тогда

$$\frac{1}{2a-3}\ge 1,$$

$$1-\frac{1}{2a-3}\le 0,$$

$$\frac{2a-4}{2a-3}\le 0,$$

$$\left(2a-3\right)\left(2a-4\right)\le 0,$$

откуда

$$\frac{3}{2}<a\le 2.$$

Объединяя результаты, получаем:

$$1\le a\le 2.$$

Ответ

$$a\in[1;2].$$