Упр.22.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите систему неравенств:

а) $$\sin 2x < \frac{1}{2}$$ и $$25-x^2 \geq 0$$;

б) $$\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}$$ и $$|x+2|<3$$.

Рассмотрим каждое неравенство системы отдельно и затем найдём их пересечение.

а)

$$\sin x\cdot \sqrt{4-x^2}\le 0$$

Область определения:

$$4-x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad -2\le x\le 2.$$

Так как $$\sqrt{4-x^2}\ge 0,$$ то произведение $$\sin x\cdot \sqrt{4-x^2}\le 0$$ выполняется, когда

$$\sin x\le 0$$

или когда

$$\sqrt{4-x^2}=0.$$

На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$\sin x\le 0$$ при $$-2\le x\le 0,$$ а также $$\sqrt{4-x^2}=0$$ при $$x=\pm 2.$$

Объединяя, получаем:

$$-2\le x\le 0.$$

б)

$$\cos x\cdot \sqrt{x+2-x^2}\ge 0$$

Область определения:

$$x+2-x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x^2-x-2\le 0 \quad \Rightarrow \quad (x+1)(x-2)\le 0,$$

откуда

$$-1\le x\le 2.$$

Так как $$\sqrt{x+2-x^2}\ge 0,$$ то неравенство выполняется при

$$\cos x\ge 0$$

или при

$$\sqrt{x+2-x^2}=0.$$

На отрезке $$[-1;2]$$ условие $$\cos x\ge 0$$ даёт

$$-1\le x\le \frac{\pi}{2}.$$

Кроме того, $$\sqrt{x+2-x^2}=0$$ при $$x=-1$$ и $$x=2,$$ и эти точки уже входят в найденный промежуток.

Следовательно,

$$-1\le x\le \frac{\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$-2\le x\le 0$$;

б) $$-1\le x\le \frac{\pi}{2}.$$