Упр.22.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите систему неравенств: а) $$\operatorname{ctg} x<-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ и $$\sin x>-0{,}8$$; б) $$\cos x<\frac{4}{9}$$ и $$\operatorname{ctg} x>-3$$.

а) $$\ctg\left(\frac{\pi}{3}\cos 2\pi x\right)=\sqrt{3}.$$

Так как $$\ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$ то

$$\frac{\pi}{3}\cos 2\pi x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\cos 2\pi x=\frac{1}{2}+3n.$$

Но $$\cos 2\pi x\in[-1;1],$$ значит, подходит только $$n=0.$$ Получаем

$$\cos 2\pi x=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$2\pi x=\pm \arccos\frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac{1}{6}+n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{1}{6}+n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin(2\pi\cos x)=\frac{1}{2}.$$

Для уравнения $$\sin t=\frac{1}{2}$$ имеем

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$2\pi\cos x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$\cos x=(-1)^n\frac{1}{12}+\frac{n}{2}.$$

Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ проверим значения $$n$$:

• при $$n=0$$: $$\cos x=\frac{1}{12};$$
• при $$n=1$$: $$\cos x=\frac{5}{12};$$
• при $$n=-1$$: $$\cos x=-\frac{7}{12};$$
• при $$n=-2$$: $$\cos x=-\frac{11}{12}.$$

При $$n\ge 2$$ и $$n\le -3$$ правая часть выходит за пределы отрезка $$[-1;1]$$, поэтому других решений нет.

Следовательно,

$$x=\pm \arccos\frac{1}{12}+2\pi k,$$

$$x=\pm \arccos\frac{5}{12}+2\pi k,$$

$$x=\pm \arccos\left(-\frac{7}{12}\right)+2\pi k,$$

$$x=\pm \arccos\left(-\frac{11}{12}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \arccos\frac{1}{12}+2\pi k,\ \pm \arccos\frac{5}{12}+2\pi k,\ \pm \arccos\left(-\frac{7}{12}\right)+2\pi k,\ \pm \arccos\left(-\frac{11}{12}\right)+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$