Упр.22.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите систему неравенств:
   
   а) $$\begin{cases}\sin x > -\frac{4}{5},\\ \cos x > -\frac{1}{3};\end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases}\sin x < \frac{2}{7},\\ \cos x < 0{,}6.\end{cases}$$

а) Из уравнения

$$\frac{a\cos x}{2\cos x+a}=5$$

получаем

$$a\cos x=5(2\cos x+a),$$

$$a\cos x=10\cos x+5a,$$

$$\cos x(a-10)=5a,$$

$$\cos x=\frac{5a}{a-10}.$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно

$$-1\le \frac{5a}{a-10}\le 1,\qquad a\ne 10.$$

Решаем по частям:

$$\frac{5a}{a-10}\ge -1 \;\Longrightarrow\; \frac{6a-10}{a-10}\ge 0 \;\Longrightarrow\; a\le \frac53 \text{ или } a>10,$$

$$\frac{5a}{a-10}\le 1 \;\Longrightarrow\; \frac{4a+10}{a-10}\le 0 \;\Longrightarrow\; -\frac52\le a<10.$$

Пересечение этих множеств:

$$-\frac52\le a\le \frac53.$$

б) Из уравнения

$$\frac{a\sin x+1}{2a-3\sin x}=2$$

получаем

$$a\sin x+1=2(2a-3\sin x),$$

$$a\sin x+1=4a-6\sin x,$$

$$\sin x(a+6)=4a-1,$$

$$\sin x=\frac{4a-1}{a+6}.$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно

$$-1\le \frac{4a-1}{a+6}\le 1,\qquad a\ne -6.$$

Решаем по частям:

$$\frac{4a-1}{a+6}\ge -1 \;\Longrightarrow\; \frac{5a+5}{a+6}\ge 0 \;\Longrightarrow\; a<-6 \text{ или } a\ge -1,$$

$$\frac{4a-1}{a+6}\le 1 \;\Longrightarrow\; \frac{3a-7}{a+6}\le 0 \;\Longrightarrow\; -6<a\le \frac73.$$

Пересечение этих множеств:

$$-1\le a\le \frac73.$$

Ответ

а) $$-\frac52\le a\le \frac53$$; б) $$-1\le a\le \frac73$$.