Упр.22.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ решением заданного неравенства служит любое действительное число:
   а) $$a\cos x-2<0$$;
   б) $$(2a-3)\sin x+1\ge 0$$?

Чтобы неравенство было верно при любом действительном $$x$$, его левая часть должна принимать значения одного знака для всех $$x$$.

а)

$$a\cos x-2<0$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то выражение $$a\cos x$$ принимает значения от $$- |a|$$ до $$|a|.$$

Чтобы неравенство $$a\cos x-2<0$$ выполнялось при любом $$x$$, нужно, чтобы

$$a\cos x<2$$

для всех $$x$$. Максимум выражения $$a\cos x$$ равен $$|a|,$$ значит должно быть

$$|a|<2.$$

Следовательно,

$$-2<a<2.$$

б)

$$\left(2a-3\right)\sin x+1\ge 0$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то выражение $$\left(2a-3\right)\sin x$$ принимает значения от $$-|2a-3|$$ до $$|2a-3|.$$

Чтобы неравенство выполнялось при любом $$x$$, нужно, чтобы минимальное значение левой части было неотрицательным:

$$1-|2a-3|\ge 0.$$

Отсюда

$$|2a-3|\le 1.$$

Решаем двойное неравенство:

$$-1\le 2a-3\le 1$$

$$2\le 2a\le 4$$

$$1\le a\le 2.$$

Ответ: а) $$a\in(-2;2);$$ б) $$a\in[1;2].$$