Упр.22.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\sin x\sqrt{4-x^2}\leq 0$$;
2. $$\cos x\sqrt{x+2-x^2}\geq 0$$.

Рассмотрим оба неравенства по отдельности.

1. $$\sin x\sqrt{4-x^2}\le 0$$

   Область определения: $$4-x^2\ge 0,$$ значит $$-2\le x\le 2.$$

   На этом промежутке $$\sqrt{4-x^2}\ge 0,$$ поэтому произведение не положительно тогда и только тогда, когда $$\sin x\le 0$$ или $$\sqrt{4-x^2}=0.$$

   На отрезке $$[-2;2]$$ имеем $$\sin x\le 0$$ при $$x\in[-2;0],$$ а также при концах отрезка $$x=\pm 2$$ корень равен нулю.

   Следовательно,

   $$x\in[-2;0]\cup\{2\}.$$

2. $$\cos x\sqrt{x+2-x^2}\ge 0$$

   Область определения:

   $$x+2-x^2\ge 0,$$

   $$x^2-x-2\le 0,$$

   $$(x-2)(x+1)\le 0,$$

   откуда $$x\in[-1;2].$$

   На отрезке $$[-1;2]$$ корень неотрицателен, значит произведение неотрицательно, когда $$\cos x\ge 0$$ или когда корень равен нулю.

   На промежутке $$[-1;2]$$ условие $$\cos x\ge 0$$ выполняется при $$x\in[-1;\frac{\pi}{2}]$$, а при $$x=2$$ корень обращается в нуль.

   Итак,

   $$x\in\left[-1;\frac{\pi}{2}\right]\cup\{2\}.$$

Ответ

а) $$x\in[-2;0]\cup\{2\}$$; б) $$x\in\left[-1;\frac{\pi}{2}\right]\cup\{2\}$$.