Упр.22.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение с параметром $$a$$:
   а) $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{a-1}{a+1}$$;
   б) $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2a-1}{a-2}$$.

Найдём область определения каждого выражения и пересечём полученные промежутки.

а)

$$y=\arcsin \frac{x}{2}+\sqrt{\sin x+\frac12}$$

Для первого слагаемого нужно:

$$-1\le \frac{x}{2}\le 1,$$

откуда

$$-2\le x\le 2.$$

Для второго слагаемого требуется:

$$\sin x+\frac12\ge 0,$$

то есть

$$\sin x\ge -\frac12.$$

Это выполняется при

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Пересекаем с промежутком $$[-2;2]$$:

$$-\frac{\pi}{6}\le x\le 2.$$

б)

$$y=\arccos(2x-1)+\sqrt{\frac{1}{\sqrt2}-\cos x}$$

Для первого слагаемого нужно:

$$-1\le 2x-1\le 1,$$

откуда

$$0\le x\le 1.$$

Для второго слагаемого требуется:

$$\frac{1}{\sqrt2}-\cos x\ge 0,$$

то есть

$$\cos x\le \frac{\sqrt2}{2}.$$

Это выполняется при

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Пересекаем с промежутком $$[0;1]$$:

$$\frac{\pi}{4}\le x\le 1.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{6}\le x\le 2$$; б) $$\frac{\pi}{4}\le x\le 1$$.