Упр.22.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ множество корней заданного уравнения не пусто:

а) $$\frac{a\cos x}{2\cos x+a}=5$$;

б) $$\frac{a\sin x+1}{2a-3\sin x}=2$$.

а) Чтобы выражение $$\sqrt{\sin x}+\dfrac{1}{\sqrt{\cos x}}$$ имело смысл, нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:

$$\sin x \ge 0,$$

$$\cos x > 0.$$

Из $$\sin x \ge 0$$ получаем

$$2\pi n \le x \le \pi+2\pi n,$$

а из $$\cos x > 0$$ —

$$-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n < x < \dfrac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Пересечение этих промежутков:

$$2\pi n \le x < \dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Для выражения $$\sqrt{\cos x-\dfrac12}+\ctg 2x$$ нужно, чтобы

$$\cos x-\dfrac12 \ge 0,$$

$$\sin 2x \ne 0.$$

Из первого неравенства:

$$\cos x \ge \dfrac12,$$

откуда

$$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \dfrac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Из условия $$\sin 2x \ne 0$$ получаем

$$x \ne \dfrac{\pi n}{2}.$$

Итак, исключая точки, где $$\sin 2x=0,$$ получаем

$$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n \le x < 2\pi n,\quad 2\pi n < x \le \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Для выражения $$\tg 2x-\dfrac{1}{\sqrt{1-2\sin x}}$$ нужно, чтобы

$$\cos 2x \ne 0,$$

$$1-2\sin x > 0.$$

Из первого условия:

$$2x \ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x \ne \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}.$$

Из второго условия:

$$\sin x < \dfrac12,$$

то есть

$$-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n < x < \dfrac{\pi}{6}+2\pi n.$$

С учётом исключённых точек получаем:

$$-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n < x < -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n < x < -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n < x < \dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Для выражения $$\dfrac{1}{\sin 4x}-\sqrt{\cos x-\dfrac{1}{\sqrt2}}$$ нужно, чтобы

$$\sin 4x \ne 0,$$

$$\cos x-\dfrac{1}{\sqrt2} \ge 0.$$

Из первого условия:

$$4x \ne \pi n,\qquad x \ne \dfrac{\pi n}{4}.$$

Из второго условия:

$$\cos x \ge \dfrac{\sqrt2}{2},$$

откуда

$$-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \dfrac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Исключая точки $$x=\dfrac{\pi n}{4},$$ получаем

$$-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n < x < 2\pi n,\quad 2\pi n < x < \dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$2\pi n \le x < \dfrac{\pi}{2}+2\pi n,$$

б) $$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n \le x < 2\pi n,\quad 2\pi n < x \le \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,$$

в) $$-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n < x < -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n < x < -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\quad -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n < x < \dfrac{\pi}{6}+2\pi n,$$

г) $$-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n < x < 2\pi n,\quad 2\pi n < x < \dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$