Упр.22.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\tg^2 x — 6\tg x + 5 = 0$$;
2. $$\tg^2 x — 2\tg x — 3 = 0$$.

а) $$\tg^2 x-6\tg x+5=0$$

Обозначим $$t=\tg x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-6t+5=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-5\right)=0$$

Отсюда:

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=5$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

$$\tg x=5 \Rightarrow x=\arctan 5+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctan 5+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

Положим $$t=\tg x$$. Тогда:

$$t^2-2t-3=0$$

$$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0$$

Следовательно,

$$t=3 \quad \text{или} \quad t=-1$$

Тогда

$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctan 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\arctan 3+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$