Упр.22.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ множество корней заданного уравнения не пусто:
   а) $$\sin x=2a-1$$;
   б) $$\cos x=2a^2-5a+1$$;
   в) $$\cos x=3a-2$$;
   г) $$\sin x=a^2-3$$?

Рассмотрим каждое уравнение отдельно. Чтобы множество корней было непустым, нужно, чтобы:

• для уравнения с $$\sin x$$ правая часть принадлежала отрезку $$[-1;1]$$;
• для уравнения с $$\cos x$$ правая часть также принадлежала отрезку $$[-1;1]$$.

1. $$\sin x=2a-1$$

   Тогда

   $$-1\le 2a-1\le 1$$

   $$0\le 2a\le 2$$

   $$0\le a\le 1$$

2. $$\cos x=2a^2-5a+1$$

   Нужно, чтобы

   $$-1\le 2a^2-5a+1\le 1$$

   Решим систему неравенств:

   $$2a^2-5a+1\ge -1$$

   $$2a^2-5a+2\ge 0$$

   $$\left(2a-1\right)\left(a-2\right)\ge 0$$

   Отсюда $$a\le \frac12$$ или $$a\ge 2$$.

   И

   $$2a^2-5a+1\le 1$$

   $$2a^2-5a\le 0$$

   $$a(2a-5)\le 0$$

   Отсюда $$0\le a\le \frac52$$.

   Пересечение получаем:

   $$a\in \left[0;\frac12\right]\cup \left[2;\frac52\right].$$

3. $$\cos x=3a-2$$

   Тогда

   $$-1\le 3a-2\le 1$$

   $$1\le 3a\le 3$$

   $$\frac13\le a\le 1$$

4. $$\sin x=a^2-3$$

   Нужно, чтобы

   $$-1\le a^2-3\le 1$$

   $$2\le a^2\le 4$$

   Отсюда

   $$a\in [-2;-\sqrt2]\cup [\sqrt2;2].$$

Ответ:

а) $$a\in [0;1]$$; б) $$a\in \left[0;\frac12\right]\cup \left[2;\frac52\right]$$; в) $$a\in \left[\frac13;1\right]$$; г) $$a\in [-2;-\sqrt2]\cup [\sqrt2;2]$$.