Упр.22.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: а) $$\sin 4x+\cos 2x=2$$; б) $$\sin 5x+\cos 3x=-2$$.

Рассмотрим уравнение $$\left(x^2+8x+11\right)\lvert \cos 2x\rvert=4\cos 2x.$$

Если $$\cos 2x=0,$$ то левая и правая части равны нулю, значит,

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\cos 2x>0,$$ то $$\lvert \cos 2x\rvert=\cos 2x,$$ и получаем

$$\left(x^2+8x+11\right)\cos 2x=4\cos 2x,$$

откуда

$$x^2+8x+11=4,$$

$$x^2+8x+7=0,$$

$$D=8^2-4\cdot 7=36,$$

$$x_1=\frac{-8-6}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-8+6}{2}=-1.$$

Проверим условие $$\cos 2x>0$$:

$$\cos(-14)=\cos 14>0,\qquad \cos(-2)=\cos 2<0.$$

Подходит только $$x=-7.$$

Если $$\cos 2x<0,$$ то $$\lvert \cos 2x\rvert=-\cos 2x,$$ и тогда

$$-\left(x^2+8x+11\right)\cos 2x=4\cos 2x,$$

откуда

$$x^2+8x+11=-4,$$

$$x^2+8x+15=0,$$

$$D=8^2-4\cdot 15=4,$$

$$x_1=\frac{-8-2}{2}=-5,\qquad x_2=\frac{-8+2}{2}=-3.$$

Проверим условие $$\cos 2x<0$$:

$$\cos(-10)=\cos 10<0,\qquad \cos(-6)=\cos 6>0.$$

Подходит только $$x=-5.$$

Итак, решения уравнения:

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad x=-7,\quad x=-5,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ -7,\ -5,\quad n\in\mathbb Z.$$